케플러 법칙

17세기에 케플러(Kepler, J., 1571~1630)는 당대 최고의 관측 천문학자였던 티 코 브라헤가 남긴 행성 관측 자료를 자세히 분석하여 행성의 운동에 관한 세 가지 법 칙을 발표하였다. 천문학의 발전에 크게 공헌한 케플러 법칙을 알아보자.

1 케플러 제1법칙: 타원 궤도 법칙

케플러는 화성의 관측 자료를 분석하던 중 화성의 궤도가 타원이라는 것을 알아내 었다. 그리고 1609년에 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 공전 한다는 사실을 발표하였다. 이를 케플러 제1법칙 또는 타원 궤도 법칙이라고 한다. 타원은 두 초점에서의 거리의 합이 같은 점들의 집합이다. 행성은 이러한 타원 궤 도를 따라 태양 주위를 공전하는데, 태양은 공전 궤도의 중심이 아닌 타원의 두 초점 중 하나에 위치해 있다. 행성이 타원 궤도상에서 태양에 가장 가까이 있게 되는 위치를 근일점이라 하고, 가장 멀리 있게 되는 위치를 원일점이 라고 한다. 타원 궤도의 중심으로부터 원일점 또는 근일점까지의 거리를 궤도 긴 반지름이라고 한다. 이는 근일점 거리와 원일점 거리를 합한 값을 반으 로 나눈 것과 같으므로, 태양과 행성 사이의 평균 거리라고 할 수 있다. 다음 활동을 통해 케플러가 했던 것과 같은 방식으로 화성의 공전 궤 도를 작도해 보고, 화성의 공전 궤도는 어떤 모양인지 알아보자.

2 케플러 제2법칙: 면적 속도 일정 법칙

케플러는 화성의 공전 궤도 위에 일정한 시간 간격으로 화성의 위치를 표시하였다. 그 결과 화성이 일정한 시간을 공전하는 동안 태양과 화성을 잇는 선분이 만드는 부 채꼴의 면적은 언제나 같다는 사실을 발견하였다. 이로부터 케플러는 1609년에 케플 러 제2법칙인 면적 속도 일정 법칙을 발표하였다. 이 법칙에 따르면 행성이 타원 궤도를 따라 공전할 때 태양과 행성을 잇는 선분은 같은 시간에 같은 면적을 지나간다. 또, 행성의 공전 속도는 근일점에서 가장 빠르고, 원일점에서 가장 느리다. 또한, 타원 궤도의 이심률이 클수록 근일점과 원일점에서의 공전 속도의 차이가 더 커진다.

3 케플러 제3법칙: 조화 법칙

행성 운동에 관한 두 가지 법칙을 발표한 지 10년 후인 1619년에 케플 러는 행성의 공전 주기와 궤도 긴 반지름 사이에 일정한 관계가 있다는 사 실을 발표하였다. 이를 케플러 제3법칙 또는 조화 법칙이라고 한다. 이에 따르면 행성의 공전 주기(P)와 궤도 긴반지름(a) 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. 이때 P의 단위를 년, a의 단위를 천문단위(AU)로 하면, k=1이 된다. 따라서 행 성의 회합 주기를 관측하여 공전 주기를 알면 케플러 제3법칙을 이용하여 태양과 행 성 사이의 평균 거리를 구할 수 있다. 또, 케플러 제3법칙을 쌍성계에 응용하면 쌍성계의 공전 주기와 긴반지 름을 이용하여 별의 질량을 구할 수 있다. 쌍성계는 두 별이 중력적으로 묶여서 공통 질량 중심 주위를 동일한 주기로 회전하는 천체이다. 그림 VI-22와 같이 질량이 mÁ, mª인 두 별이 공통 질량 중심을 중심으로 각 각 반지름이 aÁ, aª인 원 궤도를 따라 등속 원운동을 하고 있다고 하면, 이 쌍성계의 공전 주기 P와 두 별 사이의 거리 a(=aÁ+aª) 사이에는 다음과 같이 케플러 제3법칙이 성립한다. { G(mÁ`+`mª) 4 pÛ` } PÛ` = aÜ` m™ m¡ a™ v™ v¡ a¡ a 그림 VI-  22 쌍성의 운동 여기에서 공전 주기, 거리, 질량의 단위를 각각 년, 천문단위(AU), 태양 질량으로 하면, G 4 pÛ` =1이 되므로 다음과 같이 식이 단순해진다.

이때 쌍성의 공전 주기와 두 별 사이의 거리는 관측에 의해 구할 수 있으므로, 두 별의 질량의 합을 구할 수 있다. 또, mÁaÁ = mªaª의 관계가 성립하므로 각 별에서 질량 중심까지의 거리의 비 aÁ aª 을 측정하면 별의 질량을 각각 구할 수 있다. 이상과 같이 케플러 법칙은 행성뿐만 아니라 위성, 소행성, 타원 궤도를 그리는 혜 성, 그리고 태양계 밖의 쌍성에도 적용되는 보편적인 법칙으로 이후 뉴턴이 만유인력 법칙과 운동 법칙을 정립하는 데 기초가 되었다.